Medidas de Posição
Aula VI — Média, Moda e Mediana
Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS)
I. Introdução
Medidas de Posição
As medidas de posição permitem resumir e localizar informações centrais em distribuições de dados. Elas orientam quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal.
Principais medidas:
- Média
- Moda
- Mediana
- Separatrizes (quartis, decis, percentis)
1 — Média
Caso 1 — Dados não agrupados
\[\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\]
Exemplo:
Calcule o tempo médio de vida útil de 10 smartphones, sabendo que os tempos em meses são: 10, 29, 26, 28, 15, 23, 25, 17, 0, 20
\[\bar{x} = \frac{10 + 29 + 26 + 28 + 15 + 23 + 25 + 17 + 0 + 20}{10} = 19{,}3\]
Caso 2 — Dados agrupados por valores
Média ponderada:
\[\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i \cdot f_i}{N}\]
Exemplo:
| Computadores (\(x_i\)) | \(f_i\) |
|---|---|
| 0 | 2 |
| 1 | 6 |
| 2 | 10 |
| 3 | 12 |
| 4 | 4 |
| Total | 34 |
\[\bar{x} = \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 4}{34} = 2{,}3\]
Caso 3 — Dados agrupados por classes
Utilizamos o ponto médio de cada classe (\(p_i\)):
\[\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} p_i \cdot f_i}{N}, \quad p_i = \frac{L_i + L_s}{2}\]
Exemplo:
| Classe | \(f_i\) |
|---|---|
| 20 – 40 | 50 |
| 40 – 60 | 90 |
| 60 – 80 | 60 |
| Total | 200 |
\[\bar{x} = \frac{30 \cdot 50 + 50 \cdot 90 + 70 \cdot 60}{200} = 51\]
2 — Moda
Conceito e Classificação
A moda (Mo) é o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados.
Classificação:
Amodal
Não existe moda
Ex: 18, 25, 32, 14
Unimodal
Apenas um valor
Ex: 18, 25, 25, 14
Bimodal/Polimodal
Dois ou mais valores
Ex: 18, 18, 25, 25, 32
Moda — Fórmula de King (dados agrupados)
\[Mo = L_i^* + \frac{f_{i+1}}{f_{i+1} + f_{i-1}} \cdot h^*\]
Exemplo:
| Classe | \(f_i\) |
|---|---|
| 150–158 | 13 |
| 158–166 | 19 |
| 166–174 | 8 |
| Total | 40 |
Classe modal = 158–166
Moda — Fórmula de Czuber (dados agrupados)
\[Mo = L_i^* + \frac{\Delta_1}{\Delta_1 + \Delta_2} \cdot h^*\]
Onde:
- \(\Delta_1 = f_i^* - f_{i-1}\)
- \(\Delta_2 = f_i^* - f_{i+1}\)
\[Mo = 158 + \frac{6}{6 + 11} \cdot 8 = 158 + 2{,}82 = 160{,}8\]
3 — Mediana
Caso 1 — Dados não agrupados
A mediana (Md) é o valor que divide o conjunto em duas partes iguais.
Se \(n\) é ímpar:
\[Md = x_{\frac{n+1}{2}}\]
Se \(n\) é par:
\[Md = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}\]
Exemplo:
- A = {2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21} → \(Md = \frac{10+12}{2} = 11\)
- B = {6, 8, 10, 12, 14} → \(Md = 10\)
Caso 3 — Dados agrupados por classes
\[Md = L_i^* + \frac{\frac{\sum f_i}{2} - F_i'}{f_i^*} \cdot h^*\]
Exemplo:
| Classe | \(f_i\) | \(F_i\) |
|---|---|---|
| 0 – 2 | 5 | 5 |
| 2 – 4 | 2 | 7 |
| 4 – 6 | 4 | 11 |
| 6 – 8 | 2 | 13 |
| 8 – 10 | 7 | 20 |
Classe mediana = 4–6
\[Md = 4 + \frac{\frac{20}{2} - 7}{4} \cdot 2\]
Obrigado!
UEFS — Introdução à Estatística